ساختار فراکتال

Benoit Mandelbrot

فراکتال و نظم در بی نظمی

فراکتال، یا فرکتال (Fractal) ساختاری هندسی است متشکل از اجزایی که با بزرگ کردن هر جزء به نسبت معین، همان ساختار اولیه به دست آید. به عبارتی دیگر فرکتال ساختاری است که هر جزء از آن با کلش همانند است.
فراکتال ها در بسیاری از ساختارهای طبیعی مثل برف دانه ها، کوه ها، ابرها، ریشه، تنه و برگ درختان، رویش بلورها در سنگ های آذرین، شبکه آبراه ها و رودخانه ها، رسوبگذاری الکتروشیمیایی، رویش توده باکتری ها و سیستم عروق خونی، DNA و… دیده می شوند و با آنها می توان پدیده های طبیعی بسیاری را تشریح، تفسیر و پیش بینی کرد.
بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نظیر تراشه های سیلیکونی، منحنی نوسانات بازار بورس، رشد و گسترش شهرها نیز از قوانین فراکتالی پیروی می کنند.

هندسه بعد چهارم یا هندسه طبیعت

بنوا مندل برو (1389 ـ 1303) پدر هندسه فراکتالی، مبدع واژه فراکتال و کاشف مجموعه مندل برو است که تقریبا مادر تمام فراکتال ها محسوب می شود.

مندل برو در نوجوانی، آموزش و تعلیمات رسمی منظمی کسب نکرد و به گفته خودش هیچ گاه نتوانست الفبا و جدول ضرب را درست و حسابی فرا بگیرد، اما در عین حال در برخی حوزه های زبان شناسی، نظریه بازیها و احتمالات، دانش هوانوردی ، مهندسی ، علم اقتصاد، فیزیولوژی، جغرافیا، نجوم و صد البته فیزیک کارشناس و خبره بود.

مندل برو پدر فراکتال

مندل برو از دانش پژوهان مشتاق تاریخ علم نیز بود و از همه مهم تر جزو نخستین ریاضیدانان جهان به لحاظ دسترسی به رایانه های پر سرعت محسوب می شود.

بنوا مندل برو ،کشفیات بزرگ خود را با سرپیچی و تمرد از قدرت حاکم زمانه یا همان ریاضیات آکادمیک صورت داد. در گذشته، علوم و ریاضیات بر محور نظام های محدودی در سه بعد نخست (یا همان خط، سطح و فضا) دور می زدند، که ظاهرا با جهان واقعی و مختصاتش که بعد چهارم گفته می شد، میانه ای نداشتند.

نوعی کلم و نقوش فراکتالی

در حقیقت، ما در بعد چهارم یا پیوستار فضا – زمان زندگی می کنیم. گرچه از زمان اینشتین به بعد بود که فهمیدیم، حتی بعد سوم واقعا وجود ندارد و تنها مدلی برای واقعیت می تواند باشد، اما پس از مندل برو بود که تازه متوجه شدیم بعد چهارم واقعا چیست و چگونه به نظر می رسد و از چهره فراکتالی آشوب و بی نظمی باخبر شدیم؛ کسی که چهره اصلی نظریه پردازی آشوب در زمانه ما محسوب می شود.

تحقیقات مندل برو نهایتا به دستاورد بزرگی منجر شد که در یک فرمول ساده ریاضی خلاصه می شود. این فرمول که امروز به افتخار نام مخترعش مجموعه مندل برو نامیده می شود و برخی آن را بزرگترین کشف ریاضیات قرن بیستم می دانند یک حساب دینامیک و پویا بر اساس تکرار اعداد مرکب با صفر به عنوان نقطه شروع است.

فرمول مندل برو خلاصه ای از درک و بینشهای بسیاری است که مندل برو از هندسه فراکتال طبیعت یا همان جهان واقعی بعد چهارم به دست آورده است. فرمول مندل برو در تضاد آشکار با جهان آرمانی اشکال اقلیدسی بعدهای اول تا سوم است که دغدغه خاطر تقریبا تمامی ریاضیدانان پیش از مندل برو بوده است.

فرکتالی از مجموعه “مندل برو”

همه اینها نمونه هایی از اشکال فرکتالی اند

این موجودات به عنوان اصلی ترین بازیگران هندسه منتج از نظریه آشوب شناخته می شوند.این هندسه ویژگی های منحصر به فردی دارد، که می تواند توجیه گر بسیاری از رویدادهای جهان اطراف ما باشد، اما ویژگی اصلی که در تعریف آشوب و بالطبع هندسه آن وجود دارد، باعث می شود ما استفاده ویژه ای از این سیستم ببریم.

این روزها از فراکتالها به عنوان یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه ای نام می برند، اما هنگام پیدایش این مفهوم جدید بیشترین نقش را در فشرده سازی فایلهای تصویری بازی کردند. برای آن که درک بهتری نسبت به فراکتالها داشته باشیم ، بد نیست نگاه مختصری به آشوبی بیندازیم ، که فراکتال ها فضای هندسی آنها را تعریف می کند.

تعریف آشوب

فصل مشترک تعاریفی که برای مفهوم آشوب ارائه شده است ، تاکید بر این نکته است که آشوب دانش بررسی رفتار سیستم هایی است که اگرچه ورودی آنها قابل تعیین واندازه گیری است ، اما خروجی این سیستم ها ظاهری کتره ای و تصادفی دارد.

شاید به همین دلیل بود که استوارت ریاضیدان برجسته این موضوع را مفهومی احتمالاتی می دانست ، اما چیزی نگذشت که وی تعریف خود را اصلاح کرد و به تعریفی رسید که تقریبا مورد تایید عمومی قرار دارد.

بر اساس این تعریف ، آشوب به توانایی یک الگو و مدل ساده گفته می شود که اگرچه خود این الگو هیچ نشانی از پدیده های تصادفی در خود ندارد، اما می تواند منجر به ظهور رفتارهای بسیار بی قاعده در محیط شود.

ویژگی‌های تئوری آشوب (بی‌نظمی)

همانطور که ذکر گردید با بال زدن یک پروانه در یک کشور آفریقایی ممکن است طوفانی در قاره آمریکا رخ دهد. که این اثر را اثر پروانه‌ای نام‌گذاری کردیم.

سیستم‌های بی‌نظم در ارتباط با محیطشان مانند موجودات زنده عمل می‌کنند و نوعی تطابق و سازگاری پویا بین خود و محیط پیرامونشان ایجاد می‌کنند.

این جاذبه‌ها نوعی بی‌نظمی در خود دارند که اگر با دقت به آن‌ها بنگریم و نوع دیدگاهمان را نسبت به آن‌ها عوض کنیم. به نظم عمیق آن‌ها پی خواهیم برد. به طور مثال تصاویر هندسی برگرفته شده از قوم اینکا در صحرای پرو حاکی آن است که اگر از نزدیک به آن‌ها بنگریم بی‌نظمی‌ها را نشان می‌دهند اما اگر از دور دست به آن‌ها بنگریم تصاویر معناداری را در ذهن متبادر می‌سازد. این نوع جاذبه‌ها حاوی مطالب مهمی هستند و آن اینست که در نظر اول نباید محیط پیرامون خود را آشوب ناک توصیف کنیم بلکه با تغییر دیدگاه خود می‌توان این آشوب را به یک نظم تبدیل کرد.

در تئوری آشوب؛ نوعی شباهت بین اجزا و کل قابل تشخیص است. بدین ترتیب که هر جزئی از الگو همانند و متشابه کل می‌باشد. خاصیت خود مانایی در رفتار اعضای سازمان نیز می‌تواند نوعی وحدت ایجاد کند؛ همه افراد به یکسو و یک جهت و هدف واحدی نظر دارند. این ویژگی ازنظریه بی‌نظمی؛ بیشتر در فرکتال‌ها مورد بررسی قرار می‌گیرد.

نظریه بی‌نظمی ساختار فراکتال در شاخه‌های مختلف ۱. اقتصاد ۲. فیزیک ۳. ریاضی ۴. پرستاری ۵. مدیریت ۶. موسیقی و…

جریان متلاطم اطراف بال هواپیما به ظاهر بی نظم است اما در واقع در عمق آن نظمی بزرگ نهفته است.

اگرچه آشوب نظریه ای است که بر موضوعات گوناگون اجتماعی و سیاسی و اقتصادی نظر دارد، اما نیازمند زبانی برای تصویر سازی مفاهیم خود بود و این عرصه ای بود که هندسه آشوب یا فراکتالها خلق کردند.

ما در هندسه آشوب با تصاویر متفاوتی سرو کار داریم ، تصاویری که بزرگترین خصوصیات آنها این است که وقتی رسم آن را آغاز می کنیم ، نمی دانیم در نهایت با چه پدیده ای روبه رو خواهیم شد و از سوی دیگر بازخورد در آن نقش اساسی دارد. بیایید یک فرمول کلی را اجرا کنیم. یک مثلث متساوی الاضلاع رسم کنید.

حال میانه ۳ضلع را مشخص کرده و از رسم آنها به هم مثلث متساوی الساقین جدیدی به دست آورید. همین بلا را بر سر ۳مثلث تشکیل شده بیرونی بکنید و این روند را تا آنجا که می توانید ادامه دهید. شما با استفاده از یک رابطه ساده که تقسیم اضلاع مثلث به نصف و اتصال آنها به هم بود و با تکرار آن موفق به رسم نقشه یک ساختار فراکتالی شده اید.

چنان اشکالی اجزای سازنده هندسه جدی فراکتالی هستند؛ هندسه ای که به قول یکی از خالقان آن ، یعنی مندلبرات ابزاری را برای دیدن بی نهایت در اختیار ما قرار می دهد.این اشکال یک مشخصه بسیار عمده دارند. کل شکل از اجزایی مشابه شکل اول تشکیل شده است.

در مثال خودمان مثلث بزرگ از مجموعه ای مثلثهای همسان به وجود آمده است. این یکی از خصوصیات زیبای فراکتالهاست که همزمان از سوی طبیعت و فناوری به کار گرفته شده است.

اگر تا به حال به یک برگ سرخس نگاه کرده باشید، می توانید متوجه تشابه اجزای مختلف آن شوید. ساختار کل ساقه همانند یک برگ و ساختار یک برگ همانند یک جزو کوچک آن است. اگر فرصت کردید نگاهی هم به سواحل دریاها یا تصاویر هوایی کوهستان ها و گیاهان اطرافتان بیندازید، بسرعت درخواهید یافت که در جهانی آشوب زده احاطه شده اید.

با استفاده از فرکتال ها به راحتی می توان نوار قلب بیماران را تفسیر کرد و حتی احتمال بروز حمله قلبی در آنها را حدس زد و از آن جلوگیری کرد.ممکن است روزی فرکتال ها در فهمیدن چگونگی کار مغز یا ارگانیسم بدن بسیار کارآ و مؤثر واقع شوند. پیدا کردن پیوندهای بین علم و زندگی، آن رویی از سکه است که متاسفانه در کشور ما اصلاً به آن توجهی نمی شود. در صورتی که پیدا کردن و بیان این پیوندها می تواند تاثیرات بسیاری بر پیشرفت علوم و عمومی کردن آن داشته باشد. اگر هنوز از این موجودات ساده و در عین حال پیچیده هیجان زده نشده اید، این نکته را هم بشنوید.این اجسام نه یک بعدی اند، نه دو بعدی و نه سه بعدی.

این ها ابعادی کسری دارند؟ فراکتالها دقیقا به دلیل همین خاصیت ویژه ای که دارند، زمانی توانستند روشی برای ذخیره سازی تصاویر ارائه دهند. معمولا زمانی که یک تصویر گرافیکی قرار است به شکل یک فایل تصویری ذخیره شود، باید مشخصات هرنقطه از آن (شامل محل قرار گیری پیکسل و رنگ آن به صورت داده هایی عدی ذخیره شود و زمانی که یک مرور گر بخواهد این فایل را برای شما به تصویر بکشد و نمایش دهد، باید بتواند این کدهای عدی را به ویژگیهای گرافیکی تبدیل کند و آن را به نمایش بگذارد. مشکلی که در این کار وجود دارد، حجم بالایی از داده ها ست که باید از سوی نرم افزار ضبط کننده و تولید کننده بررسی شود.

اگر بخواهیم تصویر نهایی ما کیفیتی عالی داشته باشد،نیازمند آنیم که اطلاعات هریک از نقاط تشکیل دهنده تصاویر را با دقت بالایی مشخص و ثبت کنیم و این حجم بسیار بالایی از حافظه را به خود اختصاص می دهد، به همین دلیل ، روشهایی برای فشرده سازی تصویر ارائه می شود.

اگر نگاهی به فایلهایی که با پسوندهای مختلف ضبط شده اند، بیندازید متوجه تفاوت فاحش حجم آنها می شوید. برخی از این فرمتها با پذیرفتن افت کیفیت بین تصویر تولیدی و آنچه آنها ذخیره می کنند، عملا این امکان را در اختیار مردم قرار می دهند، که بتوانند فایلها و تصاویر خود را روی فلاپی ها و با حجم کمتر ذخیره کنند یا روی اینترنت قرار دهند.

برای این فشرده سازی از روشهای مختفی استفاده می شود. درواقع در این فشرده سازی ها بر اساس برخی الگوریتم های کار آمد سعی می شود به جای ضبط تمام داده های یک پیکسل مشخصات اساسی از یک ناحیه ذخیره شود، که هنگام باز سازی تصویر نقشی اساسی تر را ایفا می کنند.

در اینجاست که روش فراکتالی اهمیت خود را نشان می داد. در یکی از روشهایی که در این باره مطرح شد و با استقبال بسیار خوبی از سوی طراحان مواجه شد، روش استفاده از خاصیت الگوهای فراکتالی بود. در این روش از این ویژگی اصلی فراکتالها استفاده می شد که جزیی از یک تصویر در کل آن تکرار می شود.برای درک بهتر به یک مثال نگاهی بیندازیم. فرض کنید تصویری از یک برگ سرخس تهیه کرده اید و قصد ذخیره کردن آن را دارید.

همان طور که قبلا هم اشاره شد، این برگ ساختاری کاملا فراکتالی دارد؛ یعنی اجزای کوچک تشکیل دهنده در ساختار بزرگ تکرار می شود.

بخشی از یک برگ کوچک ،برگ را می سازد و کنار هم قرار گرفتن ساختار فراکتال برگها ساقه اصلی را تشکیل می دهد. اگر بخواهیم تصویر این برگ را به روش عادی ذخیره کنیم ، باید مشخصات میلیون ها نقطه این برگ را دانه به دانه ثبت کنیم ، اما راه دیگری هم وجود دارد. بیایید و مشخصات تنها یکی از دانه های اصلی را ضبط کنید. در این هنگام با اضافه کردن چند عملگر ریاضی ساده بقیه برگ را می توانید تولید کنید.

در واقع ، با در اختیار داشتن این بلوک ساختمانی و اعمال عملگرهایی چون دوران حول محورهای مختلف ، بزرگ کردن یا کوچک کردن و انتقال می توان حجم تصویر ذخیره شده را به طور قابل توجهی کاهش داد.

در این روش نرم افزار نمایشگر شما هنگامی که می خواهد تصویر را بازسازی کند، باید ابتدا بلوک کوچک را شبیه سازی کرده ، سپس عملگرهای ریاضی را روی آن اعمال کند، تا نتیجه نهایی حاصل شود.

به نظر می رسد این روش می تواند حجم نهایی را به شکل قابل ملاحظه ای کاهش دهد، اما تنها یک مشکل کوچک وجود دارد و آن هم این نکته است که همه اشیای اطراف ما برگ سرخس نیستند و بنابراین الگوهای تکرار در آنها همیشه اینقدر آشکار نیست.

بنابراین باید روشی بتواند الگوهای فراکتالی حاضر در یک تصویر را شناسایی کنند و در صورت امکان آن را اعمال کند.

به همین دلیل ، معمولا روش فراکتالی با روشهای فشرده سازی دیگر همزمان به کار برده می شود؛ یعنی اگر الگوهای تکرار چندان پررنگ نبودند، بازهم فشرده سازی امکانپذیر باشدالبته زیاد نگران ناکارامدی این روش نباشید. یادتان نرود، شما در جهانی زندگی می کنید که براساس یافته جدید ساختاری آشوبناک دارد.

مطمئن باشید هندسه فراکتال بر بسیاری از اشکال عالم حاکم است ؛ حتی اگر در نگاه اول چندان آشکا ر نباشد.

شما نیز با دقت بیشتر به اطرافتان و یافتن ارتباط های ملموس بین ریاضی و زندگی می توانید از سختی و به اصطلاح خشک بودن ریاضی بکاهید.

ساختار فراکتالی بازار های مالی چگونه است

این واژه Fractal از کلمه لاتین Fractus (یعنی تکه تکه و بخش بخش) گرفته شده یکی از مهمترین خصوصیات فراکتالها خود متشابه بودن (self similarity)آنهاست به این معنی که فراکتالها از اجزایی تشکیل شده اند که هر جزء در آن شبیه به کل شکل میباشد و به عبارتی اشکال پیچیده از طریق تکرار اشکال ساده بدست می ایند.

تشکیل از راه تکرار (Iterative formation)

مقصود از تشکیل از راه تکرار چیست؟ یعنی برای درست کردن یک فراکتال می‌توانیم یک شکل معمولی هندسی ( مثلاً یک خط ) را انتخاب کنیم و با آن یک شکل بسازیم. سپس با شکل به دست آمده، شکل پیچیده تری مانند شکل های قبلی بسازیم، و همین طور به این کار ادامه دهیم.

اگر شکل قرمز را شکل پایه در نظر بگیریم ، در شکل آبی چند نمونه از آن وجود دارد؟

اشکال فراکتالی به این طریق به وجود می‌آیند و برنامه های کامپیوتری متعددی برای ایجاد آن ها نوشته شده است که هر کدام نام و روشی خاص دارند در زیر به چند نمونه از آن اشاره می کنیم:

– مثلث سیرپینسکی :

به این مثلث خاص در شکل زیر نگاه کنید. این مثلث بزرگ (فراچارت: که با نام لاتین ierpinski triangle معروف است)، از مثلث های مشابه کوچک تر تشکیل شده است که همین طور کوچک تر و کوچک تر ساختار فراکتال هم می‌شوند. چند سایز مثلث وجود دارد و آیا همه باهم و با مثلث بزرگ تشابه دارند؟ در واقع مثلث بزرگ از چیدمان چندین مثلث دیگر بوجود آمده اند که هر کدام از آنها نیز به نوبه خود از مثلثهای کوچتکر و هر کدام از آن مثلث های کوچکتر نیز از مثلثهای کوچکتر از خود و … بوجود آمده است.

تشکیل مثلث سیرپینسکی

– دانه برف کخ :

این دانه برف تنها از یک مثلث و بصورت زیر ساخته می شود. (فراچارت: این نام از نام آن ریاضیدان، نیلز فابین هلگ وان‌ کُخ Niels Fabian Helge Von Koch گرفته شده است. )

برای ملموس تر شدن موضوع اجازه دهید کمی از این هندسه زیبا را در اطرافمان بیابیم: ساختارهای فراکتالی در بسیاری از ساختارهای طبیعی مثل ساختمان دانه های برف، شکل کوه ها، ابرها و شکل ریشه، تنه و برگ درختان، رویش بلورها در سنگهای آذرین، شبکه آبراه ها و رودخانه ها، رسوبگذاری الکتروشیمیایی، رویش توده باکتریها و سیستم عروق خونی وغیره دیده میشوند و با آنها میتوان پدیده های طبیعی بسیاری را تشریح، تفسیر و پیش بینی کرد

– فراکتال طبیعی گیاه آلوئه پلی فیلا

شکل زیر از دوران یک تک برگ حول محور مرکز (به گونه ائی که شعاع دوران دائمآ در حال کاهش است) بوجود آمده است.لذا میتوان بجای مطالعه کل شکل, تنها به مطالعه همان تک برگ پرداخت زیرا کل شکل فوق چیزی به جز قرار گیری هدفمند تعداد زیادی از این تک برگها در کنار یکدیگر نیست.

– کلم بروکلی رومانسکو

کلم بروکلی رومانسکو، یکی از کلم های عجیب در جهان به حساب می آید، چرا که ترتیب قرارگیری و شکل هندسی برگ ها و دانه های آن از معادلات و اشکال هندسی کاملا متقارن و هندسی تبعیت می کند.

– دانه برف طبیعی:

در عکس میکروسکوپی زیر می بینید که دانه های برف با چه زیبایی وصف ناپذیری بصورت فرکتالی ساخته شده اند

موارد کاربرد فراکتالها آنچنان زیاد است که حتی نمیتوان لیستی از آن ارائه داد. چند مورد از کاربرد های روزمره با فراکتال ها: مثلآ در کامپیوتر (برای فشرده کردن تصاویر یا پردازش تصاویر)، فیزیک (آنتن های گوشی موبایل)، پزشکی (برای تفسیر نوار قلبی و پیش بینی رفتار بدن)، معماری و شهرسازی، اقتصاد، شیمی، پیش بینی وضع هوا، زمین شناسی و حرکت گسل ها و بسیاری از مواد دیگر؛ همچنین میتوان رد پای فراکتال ها را در خلق آثار هنری جست و با استفاده از آنها ایده های بدیع و زیبایی خلق نمود.

ارتباط فراکتال با بازار های مالی

در بازار های مالی نیز مانند سایر بخشهای کتاب خلقت، سیستم فراکتالی نیز صادق است.

اگر تایم فریم را مانند یک طیف در نظر بگیریم، و جهت حرکت از سمت چپ به راست باشد، در سمت چپ و در نقطه آغاز این طیف، تیک چارت را بعنوان کوچکترین آجر و سنگ بنای تایم فریم های دیگر خواهیم داشت. در واقع تیک چارت حکم اتم (به معنای غیر قابل تجزیه به عوامل کوچکتر) را دارد.

در هر زمانی که قیمت جدیدی برای یک جفت ارز (Ask) اعلام شود، تیک چارت تغییر خواهد کرد. در مرحله بعدی تایم فریم یک دقیقه را داریم که اطلاعات تیک چارت را به مدت یک دقیقه خلاصه کرده و در یک کندل حاوی: قیمت شروع یک دقیقه مورد بررسی (open)، قیمت در پایان یک دقیقه مورد بررسی (close)، قیمت حد اکثر در یک دقیقه مورد بررسی (high) ، و قیمت حداقل در یک دقیقه مورد بررسی (low) قرار می گیرد.

تایم فریم بعدی در طیف می تواند تایم فریم 5 دقیقه باشد که اطلاعات 5 کندل یک دقیقه ائی را در خود جا داده و در یک کندل نمایش می دهد: قیمت شروع پنج دقیقه مورد بررسی (open)، قیمت در پایان پنج دقیقه مورد بررسی (close)، قیمت حداکثر در پنج دقیقه مورد بررسی (high) ، و قیمت حداقل در پنج دقیقه مورد بررسی (low)

همینطور که از سمت چپ این طیف به سمت راست طیف حرکت می کنیم تایم فریم بزرگتر و بزرگتر می شود اما جزء غیر قابل تجزیه در تمام آنها (مانند تمام ساختارهای فراکتالی) فقط یک چیز است که در این مورد (تایم فریمها) همان تیک چارت می باشد.

نکته اساسی که در ساختار فراکتالی تایم فریمها وجود دارد آنست که تمام تکنیکها، روشها ، اندیکاتورها، استراتژی ها و … که برای یک تایم فریم قابل استفاده است، برای تمام تایم فریمهای دیگر با همان دقت قابل بکارگیری می باشد. یعنی استراتژی شما در تایم فریم یک دقیقه به همان نحوه ائی عمل می کند که در تایم فریم ماهانه و یا سایر تایم فریم ها بکار گرفته شود.

این اعجاز بزرگ ساختار فراکتالی در بازار سرمایه است. البته بدیهی است که تایم های پایین تر میکروسکوپیک و حرکتها دارای برد های کمتر و تایم های بالاتر ماکروسکوپیک بوده و در نتیجه حرکتها با برد های بیشتر اتفاق می افتند. (فراچارت: دید فرکتالی به بازار می تواتند تحلیل تکنیکال شما را بهبود ببخشد)

ساختار فراکتالی چیست؟

همه چیز درباره ساختار فراکتالی در بازارهای مالی

در زندگی روزمره ما فراکتال‌ها به فراوانی قابل مشاهده هستند. اگر بخواهیم تعریف ساده‌ای از فراکتال‌ها ارائه دهیم، باید بگوییم که فراکتال‌ها اشکال هندسی و چند جزئی هستند که اگر آن‌ها را به چند قسمت تقسیم کنیم، هر قسمت کوچک شده، کپی و برابر کل شکل است.

فراکتال که نام دیگر آن «برخال» است شاخه و علم جدید و مشترک در ریاضیات و هنر است. هندسه فراکتالی ریاضیات را به هنر پیوند می‌دهد و روش‌های نامحدودی را برای سنجش، توصیف و پیش‌بینی پدیده‌های طبیعی ارائه می‌دهد.

هندسه فراکتالی به دلیل این که بهترین و زیباترین توصیف‌های ریاضیاتی را درباره پدیده‌ها و اجزای طبیعت مثل کوه‌ها، درخت‌ها، پراکنده شدن برگ‌های پاییزی روی زمین، دریاها، اقیانوس و… ارائه می‌دهد؛

برای مردم جذاب است و باعث می‌شود آن‌ها ریاضیات را فراتر از فرمول‌های کسل‌کننده و پیچیده و معادله‌های پر از اعداد ببینند. در این مقاله از سرمایه سازی قصد داریم تا اطلاعات لازم را درباره این ساختار و قوانین آن را مورد بررسی قرار دهیم پس همراه ما باشید.

معرفی ساختار فراکتلی

کلمه فراکتال به معنای ” بخش بخش” و ” تکه تکه شده” است. فراکتال‌ها به کمک سه ویژگی خود که در ادامه توضیح خواهیم داد حرکت اشکال در فضا را ثبت کرده و تغییرات دینامیک و ناهمواری‌های انرژی و همین‌طور دنیا را نشان می‌دهد. ویژگی‌های فراکتال عبارتند از:

در ادامه هر کدام را به اختصار شرح خواهیم داد.

تشابه به خود یا self similarity

اگر تا به حال به برگ سرخس دقت کرده باشید، باید متوجه شده باشید که هر برگ کوچک سرخس شبیه به کل برگ سرخس است. به طور کلی می‌توان گفت هر جز برگ سرخس کپی و برابر کل برگ سرخس است.

این ویژگی در فراکتال‌ها نیز وجود دارد و صدق می‌کند. در هندسه تشابه به معنای یکسان بودن اشکال با وجود تفاوت در اندازه‌ها است. به بیان ساده‌تر اگر بتوانید با بزرگ‌تر یا کوچک‌کردن دو شکل، دقیقا آن را مثل و همانند هم کنید، آن دو شکل خاصیت خودتشابهی دارند.

بعد غیر صحیح (کسری) یا Non-integer Dimension

در علم هندسه و ریاضیات نقطه بعد ندارد و خط تنها یک بعد دارد. همچنین یک صفحه، دو بعد دارد و شکل‌هایی که حجم دارند سه بعدی هستند. این درحالی است که فراکتال‌ها می‌توانند بعد غیر صحیح داشته باشند.

همچنین بخوانید : تحلیل به روش کانسلیم چیست؟

همان‌طور که گفتیم یک خط مستقیم یک بعد دارد اما اگراین خط مستقیم دری فضا پیچ بخورد و و تبدیل به یک منحنی بسته شود، منحنی فراکتال می‌تواند بین یک تا دو بعد داشته باشد.

تشکیل از راه تکرار یا Iterative formation

برای درست‌کردن یک فراکتال به راحتی می‌توان یک شکل هندسی را انتخاب کرد؛ سپس با تکرار آن شکل، شکل پیچیده‌تری بسازیم که هر جز آن همانند شکل اولیه ما است. اشکال فراکتالی از این طریق ساخته می‌شوند.

معروف‌ترین اشکال هندسی فراکتالی ساخته شده عبارتند از:

کاربرد فراکتال‌ ها

موارد کاربرد و استفاده از فراکتال‌ها بسیار زیاد است. در بسیاری از حوزه‌های علمی مثل، علوم زیستی، اخترفیزیک، پزشکی، اقتصاد، زمین شناسی و حرکت گسل‌ها، معماری و شهرسازی و بازارهای مالی کاربرد دارند. در ادامه به توضیح این ارتباطات می‌پردازیم.

فراکتال‌ها و اخترفیزیک

ستاره‌ها چگونه تشکیل شده‌اند؟ مهم‌ترین مسئله برای جواب به این سوال این است که ماهیت فراکتالی گاز میان ستاره‌ای بوده و پخش و توزیع فراکتال‌ها همانند مسیر دود و یا ابرهای موج‌دار در آسمان، دارای سلسله مراتبی است.

ساختار فراکتالی این مسئله را توجیه می‌کند که آشفتگی گازها موجب تشکیل ابرها در آسمان و در فضا می‌شود و این روند الگویی نامنظم اما تکراری مشابه الگوی فراکتال‌ها دارد.

فراکتال‌ ها و علوم زیستی

دانشمندان دریافته‌اند که هندسه فراکتالی بسیاری از سازه‌های طبیعی را بهتر توصیف می‌کند. مثلا هر کروموزوم از مینی کروموزوم‌ها تشکیل شده‌ است. بنابراین حتی در ساختار بدن انسان نیز فراکتال‌ها وجود دارند. ویژگی خودتشابهی فراکتال‌ها در DNA نیز یافت می‌شود. زیست شناسان از خواص فراکتال‌ DNAها برای حل روابط تکاملی در حیوانات استفاده می‌کنند.

فراکتال و معماری

برای بهتر درک‌کردن یک ساختمان باید یک قیاس کوچکتری از آن ساختمان به همراه ویژگی‌ها و جزئیات آن ساختمان وجود داشته باشد؛ که این یک ایده فراکتال است. برای استفاده از ایده‌های فراکتال در معماری دو راه قابل استفاده است.

اول این که از بعد فراکتال یک طرح اندازه‌گیری شده و به عنوان یک وسیله برای بازنگری، توصیف و انتقاد از اثر استفاده شود. دوم این که فراکتال می‌تواند برای ایجاد ریتم‌های پیچیده طراحی ساختمان باشد استفاده شود.

فراکتال ‌ها و بازارهای مالی

تایم فریم را مانند یک طیف در نظر بگیرید. اگر در سمت چپ نقطه آغاز طیف را داشته باشیم؛ تیک چارت به عنوان کوچک‌ترین جز تایم فریم‌های دیگر است. تیک چارت زمانی تغییر می‌کند که قیمت جدیدی برای جفت ارز یا Ask اعلام شود.

یک تایم فریم یک دقیقه‌ای را در نظر بگیرید. اطلاعات تیک چارت به مدت یک دقیقه خلاصه می‌شود و در یک کندل حاوی اطلاعات زمان این‌گونه ثبت می‌شود.

• قیمت شروع یک دقیقه‌ای که مورد بررسی قرار گرفته (open)
• قیمت در لحظه پایان یک دقیقه (close)
• قیمت حداقلی در یک دقیقه مورد بررسی (low)
• حداکثر قیمت در یک دقیقه‌ای که قرار است مورد بررسی قرار گیرد (low)

تایم فریم بعدی را دو دقیقه‌ای در نظر بگیرید. تمام اطلاعاتی که قبلا گفتیم شامل open، close و low و high در یک کندل دو دقیقه‌ای ثبت می‌شود. تایم فریم دیگر را پنج دقیقه‌ای در نظر بگیرید و همین طور این روند افزایشی را ادامه دهید.

همچنین بخوانید : پیوت مینور و ماژور در بورس

وقتی از سمت چپ به سمت راست حرکت کنیم، تایم فریم مدام بزرگتر می‌شود اما در همه آن‌ها یک چیز مشترک و غیر قابل تجزیه و غیر قابل تغییر است و آن تیک چارت است. این یک ساختار فراکتالی در بازارهای مالی است.

فراکتال ‌ها و گرافیک کامپیوتری

در علوم کامپیوتری از فراکتال‌ها به فراوانی استفاده می‌شود. از الگوریتم‌های فراکتال برای فشرده سازی فایل‌های گرافیکی کامپیوتری به اندازه کمتر از یک چهارم اندازه اصلی فایل است.

گرافیست‌ها با استفاده از اجزای طبیعی مثل سیاره‌های منظومه شمسی و ستاره‌ها، کوهستان‌ها و خط‌های ساحلی، تصاویر واقعی برای تبلیغات‌های تلویزیونی یا جلوه‌های ویژه بصری و … به وجود می‌آورند.

همچنین آن‌ها از اشکال فراکتالی برای تولید تصاویر مناظری با بافت‌های ویژه و مدل‌های پیچیده استفاده می‌کنند. با استفاده از فراکتال در علوم کامپیوتری و ریاضیات می‌توان به صورت دقیق‌تری محیط اطراف را دید و نسبت به گذشته محیط را تعریف کرد.

دو نوع از فراکتال‌ها از سایر مدل‌های آن محبوب‌تر و پر کاربردتر هستند.

1. فراکتال‌های عدد مختلط یا Complex number
2. فراکتال‎ های سیستم تابع تکرارشونده یا Iterated function system

مجموعه فراکتال‌های عدد مختلط شامل دو مجموعه «مندلبرو» و مجموعه «ژولیا» است و فراکتال‌های سیستم تابع تکراری نیز از همان مدل تکرار شونده‌ای که قبلا توضیح داده‌ایم تشکیل می‌شود.

جمع بندی

علم فراکتالی یکی از علومی است که به سرعت در حال پیشرفت و تغییر و تحول است و هر روز به علاقمندان آن اضافه می‌شود. به عقیده دانشمندان هندسه فراکتالی یکی از بهترین ابزارها برای درک مسائل در بسیاری از علوم دیگر و همین طور ابزاری برای کشف اسرار گسترده سیستم‌های این جهان است.

آن چه برای همگان مشخص و معلوم است، این است که هندسه فراکتالی دید و دقت ما را در توصیف و درک طبیعت و طبقه‌بندی اشیای آن بهبود بخشیده و ما را به شناخت دقیق‌تر از طبیعت دعوت می‌کند و می‌تواند خود آن را برای ما تداعی سازد.

اما برخی دیگر از دانشمندان بر این باور هستند که همه این واقعیات و شباهت‌ها تصادفی بوده و هیچ علم و معادله ریاضی قادر به توصیف پدیده‌ها و اسرار این جهان نیست.هیچ کدام دلیل قابل قبول برای رد ادعای طرف دیگر و اثبات منطق خود نداشته و نمی‌توان گفت کدام گفته درست است.

کاربرد اشکال فراکتال در بازارهای مالی

واژه فراکتالی (Fractal) از کلمه لاتین Fractus (یعنی تکه تکه و بخش بخش) گرفته شده است.

یکی از مهمترین خصوصیات فراکتال‌ها خود متشابه بودن (self similarity) آنهاست.

به این معنی که فراکتال‌ها از اجزایی تشکیل شده اند که هر جزء در آن شبیه به کل شکل میباشد و به عبارتی اشکال پیچیده از طریق تکرار اشکال ساده بدست می ایند.

تشکیل از راه تکرار (Iterative formation)

مقصود از تشکیل از راه تکرار چیست؟

یعنی برای درست کردن یک فراکتال می‌توانیم یک شکل معمولی هندسی (مثلاً یک خط) را انتخاب کنیم و با آن یک شکل بسازیم. سپس با شکل به دست آمده، شکل پیچیده‌تری مانند شکل‌های قبلی بسازیم، و همین طور به این کار ادامه دهیم.

اگر شکل قرمز را شکل پایه در نظر بگیریم ، در شکل آبی چند نمونه از آن وجود دارد؟

اشکال فراکتالی به این طریق به وجود می‌آیند و برنامه های کامپیوتری متعددی برای ایجاد آن ها نوشته شده است که هر کدام نام و روشی خاص دارند در زیر به چند نمونه از آن اشاره می کنیم:

– مثلث سیرپینسکی :

به این مثلث خاص در شکل زیر نگاه کنید. این مثلث بزرگ (که با نام لاتین ierpinskitriangle معروف است)، از مثلث‌های مشابه کوچک‌تر تشکیل شده است که همین طور کوچک‌تر و کوچک‌تر هم می‌شوند.

چند سایز مثلث وجود دارد و آیا همه باهم و با مثلث بزرگ تشابه دارند؟

در واقع مثلث بزرگ از چیدمان چندین مثلث دیگر بوجود آمده‌اند که هر کدام از آنها نیز به نوبه خود از مثلث‌های کوچتکر و هر کدام از آن مثلث‌های کوچکتر نیز از مثلث‌های کوچکتر از خود و … بوجود آمده است.

تشکیل مثلث سیرپینسکی

– دانه برف کخ :

این دانه برف تنها از یک مثلث و بصورت زیر ساخته می‌شود.

این نام از نام آن ریاضیدان، نیلز فابین هلگ وان‌ کُخ Niels Fabian Helge Von Koch گرفته شده است.

برای ملموس‌تر شدن موضوع اجازه دهید کمی از این هندسه زیبا را در اطرافمان بیابیم: ساختارهای فراکتالی در بسیاری از ساختارهای طبیعی مثل ساختمان دانه‌های برف، شکل کوه‌ها، ابرها و شکل ریشه، تنه و برگ درختان، رویش بلورها در سنگ‌های آذرین، شبکه آبراه ها و رودخانه‌ها، رسوب‌گذاری الکتروشیمیایی، رویش توده باکتریها و سیستم عروق خونی و غیره دیده می‌شوند و با آنها می‌توان پدیده‌های طبیعی بسیاری را تشریح، تفسیر و پیش بینی کرد.

– فراکتال طبیعی گیاه آلوئه پلی فیلا

شکل زیر از دوران یک تک برگ حول محور مرکز (به گونه ائی که شعاع دوران دائمآ در حال کاهش است) بوجود آمده است.

لذا میتوان بجای مطالعه کل شکل، تنها به مطالعه همان تک برگ پرداخت زیرا کل شکل فوق چیزی به جز قرار گیری هدفمند تعداد زیادی از این تک برگ‌ها در کنار یکدیگر نیست.

– کلم بروکلی رومانسکو

کلم بروکلی رومانسکو، یکی از کلم های عجیب در جهان به حساب می‌آید، چرا که ترتیب قرارگیری و شکل هندسی برگ‌ها و دانه‌های آن از معادلات و اشکال هندسی کاملا متقارن و هندسی تبعیت می‌کند.

– دانه برف طبیعی:

در عکس میکروسکوپی زیر می‌بینید که دانه‌های برف با چه زیبایی وصف ناپذیری بصورت فرکتالی ساخته شده‌اند.

موارد کاربرد فراکتال‌ها آنچنان زیاد است که حتی نمی‌توان لیستی از آن ارائه داد.

چند مورد از کاربردهای روزمره با فراکتال‌ها: مثلا در کامپیوتر (برای فشرده کردن تصاویر یا پردازش تصاویر)، فیزیک (آنتن های گوشی موبایل)، پزشکی (برای تفسیر نوار قلبی و پیش بینی رفتار بدن)، معماری و شهرسازی، اقتصاد، شیمی، پیش بینی وضع هوا، زمین شناسی و حرکت گسل‌ها و بسیاری از مواد دیگر؛

همچنین می‌توان رد پای فراکتال‌ها را در خلق آثار هنری جست و با استفاده از آنها ایده‌های بدیع و زیبایی خلق نمود.

ارتباط فراکتال با بازار های مالی

در بازارهای مالی نیز مانند سایر بخش‌های کتاب خلقت، سیستم فراکتالی نیز صادق است.

اگر تایم فریم را مانند یک طیف در نظر بگیریم، و جهت حرکت از سمت چپ به راست باشد، در سمت چپ و در نقطه آغاز این طیف، تیک چارت را بعنوان کوچکترین آجر و سنگ بنای تایم فریم های دیگر خواهیم داشت.

در واقع تیک چارت حکم اتم (به معنای غیر قابل تجزیه به عوامل کوچکتر) را دارد.

در هر زمانی که قیمت جدیدی برای یک جفت ارز (Ask) اعلام شود، تیک چارت تغییر خواهد کرد.

در مرحله بعدی تایم فریم یک دقیقه را داریم که اطلاعات تیک چارت را به مدت یک دقیقه خلاصه کرده و در یک کندل حاوی: قیمت شروع یک دقیقه مورد بررسی (open)، قیمت در پایان یک دقیقه مورد بررسی (close)، قیمت حد اکثر در یک دقیقه مورد بررسی (high) ، و قیمت حداقل در یک دقیقه مورد بررسی (low) قرار می گیرد.

تایم فریم بعدی در طیف می تواند تایم فریم ۵ دقیقه باشد که اطلاعات ۵ کندل یک دقیقه ائی را در خود جا داده و در یک کندل نمایش می دهد: قیمت شروع پنج دقیقه مورد بررسی (open)، قیمت در پایان پنج دقیقه مورد بررسی (close)، قیمت حداکثر در پنج دقیقه مورد بررسی (high) ، و قیمت حداقل در پنج دقیقه مورد بررسی (low)

همینطور که از سمت چپ این طیف به سمت راست طیف حرکت می کنیم تایم فریم بزرگتر و بزرگتر می شود اما جزء غیر قابل تجزیه در تمام آنها (مانند تمام ساختارهای فراکتالی) فقط یک چیز است که در این مورد (تایم فریمها) همان تیک چارت می باشد.

نکته اساسی که در ساختار فراکتالی تایم فریمها وجود دارد آنست که تمام تکنیک‌ها، روش‌ها، اندیکاتورها، استراتژی‌ها و … که برای یک تایم فریم قابل استفاده است، برای تمام تایم فریم‌های دیگر با همان دقت قابل بکارگیری است.

یعنی استراتژی شما در تایم فریم یک دقیقه به همان نحوه ائی عمل می‌کند که در تایم فریم ماهانه و یا سایر تایم فریم‌ها بکار گرفته شود.

این اعجاز بزرگ ساختار فراکتالی در بازار سرمایه و بازارهای مالی است.

البته بدیهی است که تایم‌های پایین‌تر میکروسکوپیک و حرکت‌ها دارای برد‌های کمتر و تایم‌های بالاتر ماکروسکوپیک بوده و در نتیجه حرکت‌ها با بردهای بیشتر اتفاق می‌افتند.

دید فرکتالی به بازار می‌تواند تحلیل تکنیکال شما را بهبود ببخشد.

اما گاهی نباید فریب الگوهای فراکتالی را بخورید، فراکتال‌ها همیشه تکرار نمی‌شوند.

قصد شروع سرمایه‌گذاری در بورس را دارید؟ اولین قدم این است که افتتاح حساب رایگان را در یکی از کارگزاری‌ها انجام دهید:

برای سرمایه‌گذاری و معامله موفق، نیاز به آموزش دارید. خدمات آموزشی زیر از طریق کارگزاری آگاه ارائه می‌شود:

هندسه فراکتال

گالیله میگوید: " جهان هستی همواره در برابر دیدگان حیرت زده انسان گسترده خواهد ماند و انسان هرگز نمیتواند آنرا درک کند مگر اینکه زبانی را که این جهان با آن نوشته و توضیح داده شده است یاد بگیرد و حروف آنرا بشناسد. این زبان چیزی جز ریاضیات نیست و این حروف جز مثلث، دایره و سایر اشکال هندسی چیز دیگری نیستند. بدون این زبان انسان حتی یک کلمه از جهان هستی را نخواهد فهمید و همواره گمشده ای را ماند که در کوچه های پر پیچ و خم سرگردان است . "

هندسه فراکتال

فراکتال (Fractal) ساختاری هندسی است متشکل از اجزایی که با بزرگ کردن هر جزء به نسبت معین، همان ساختار اولیه به دست آید. به عبارتی دیگر فراکتال ساختاری است که هر جزء از آن با کل آن همانند است. شکل زیر یک فراکتال را نشان میدهد که با یک مثلث شروع میشود، شکل دوم با تکرار مثلث ایجاد میشود. به همین ترتیب هر شکل، تکراری از شکل قبل از خود میباشد.

به عبارت دیگر هندسه فراکتالی بیانگر یک الگوی تکرارشونده در اشیا و تصاویر می باشد، یعنی اگر هر تصویر یا شکل دارای این خاصیت به قسمت های کوچکتر تقسیم شود هر کدام از این قسمتهای کوچکتر خود یک کپی کوچک شده از شکل اولیه می باشد. واژه فراکتال مشتق از واژه لاتینی فراکتوس (به معنی سنگی که شکسته و خرد شده است) می باشد که در سال ۱۹۷۵ برای اولین بار توسط مندلبروت (Benoit Mandelbrot) مطرح شد.

هندسه فراکتالی بعنوان زیرشاخه ای از آنالیز مختلط برای رفع ضعف های هندسه اقلیدسیدر بیان و مدلسازی از پدیده های طبیعی، بسط و گسترش یافته است. بعد فراکتالی، پارامتری برای بررسی میزان پیچیدگی بین داده ها است و برخلاف بعد اقلیدسی که یک عدد طبیعی است، می تواند بصورت یک عدد حقیقی باشد.

Benoit Mandelbrot

فراکتال ها شکل هایی هستند که بر خلاف شکل های هندسی اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند. مندلبروت در سال ۱۹۷۵ اعلام کرده که ابرها به صورت کره نیستند، کوهها همانند مخروط نمی باشند، سواحل دریا دایره شکل نیستند، پوست درخت صاف نیست و صاعقه به صورت خط مستقیم حرکت نمی کند. جسم فراکتال از دور ونزدیک یکسان دیده می شود. به تعبییر دیگر خودمتشابه است.

فراکتال ها از نظر روش مطالعه به فراکتال های جبری و فراکتال های احتمالاتی تقسیم می‌شوند. از طرف دیگر فراکتال ها یا خودهمانند اند یا خودناهمگرد هستند. در خودهمانندی، شکل جزء شباهت محسوسی به شکل کل دارد. این جزء، در همه جهات به نسبت ثابتی رشد می‌کند و کل را به وجود می‌آورد. اما در خودناهمگردی شکل جزء در همه جهات به نسبت ثابتی رشد نمی‌کند.